За новим — роздільне написання свідчить, що у реченні це поєднання прийменника «по» і прикметника «новому». Відповідає така конструкція на запитання «за яким?», Завжди має залежне іменник. Я першим ішов новим покриттям дороги. Салат я приготувала за новим рецептом.

по-новому одягнутися – пишеться через дефіс, оскільки це прислівник на -ому.

За правилами сучасної російської мови, слово по-третє пишеться через дефіс у разі, якщо це прислівник. Такі прислівники як по-перше, по-друге тощо використовуються для перерахування чогось.

Уп'ятеро — слово завжди пишеться разом оскільки є прислівником. Написання можна перевірити у будь-якому орфографічному словнику російської.